/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000038*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓B␈↓ ↓H␈ε∧BULLETIN␈α
OF␈α
THE
␈β↓↑␈↓ ↓H␈ε∧AMERICAN␈α
MATHEMATICAL␈α
SOCIETY
␈β↓{␈↓ ↓H␈ε∧Volume␈α
82,␈α
Number␈α
6,␈α
November␈α
1976
␈ββα␈↓ ∧∃␈ε∩NONLINEAR␈αER␈α␈GODIC␈αTHEOREMS
␈ββ/␈↓ ¬R␈ε∧∞
␈ββ5␈↓ ∧F␈ε∧BY␈α
H.␈α
BR␈↓ ¬Q␈ε∧E␈↓ ¬e␈ε∧ZIS␈α
AND␈α
F.␈α
E.␈α
BROWDER
␈ββi␈↓ ∧↓␈ε∧Communicated␈α
by␈α
Alexandra␈α
Bellow,␈α
May␈α
17,␈α
1976
␈β∧-␈↓ α"␈εβIn␈α	two␈α	recent␈α
notes␈α	([␈↓ ∧x␈εβ],␈α
[␈↓ ¬3␈εβ]),␈α
J-B.␈α
Baillon␈α	proved␈α	the␈α
|rst␈α	ergodic␈α	theorems␈α
for
␈β∧3␈↓ ∧f␈ε∩1␈↓ ¬!␈ε∩2
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβnonlinear␈α
mappings␈α
in␈α
Hilbert␈α∞space.␈α
We␈α
simplify␈α∞the␈α
argument␈α
here␈α
and␈α∞obtain
␈β¬β␈↓ ↓H␈εβan␈αextension␈αof␈αBaillon's␈αtheorems␈αfrom␈αthe␈αusual␈αCes␈↓ λ≥␈εβ␈
␈↓ λ∨␈εβa␈↓ λ1␈εβro␈αmeans␈αof␈αergodic␈αtheory
␈β¬_␈↓ ελ␈ε↓P␈↓ λp␈ε↓P
␈β¬)␈↓ ε.␈ε_1␈↓ π7␈ε
k
␈β¬.␈↓ ↓H␈εβto␈α
general␈α
averaging␈α
processes␈↓ ¬j␈εβ=␈↓ πT␈εβ(0␈↓ λP␈εβ,␈↓ 

␈εβ=␈α
1).
␈β¬0␈↓ ¬6␈ε	A␈↓ εc␈ε	a␈↓ π≥␈ε	T␈↓ λ⊗␈ε	a␈↓ 	I␈ε	a
␈β¬4␈↓ π{␈ε↔∀
␈β¬;␈↓ ππ␈ε∧,␈↓ λ:␈ε∧,␈↓ 	m␈ε∧,
␈β¬<␈↓ ¬O␈ε
n
␈β¬=␈↓ εv␈ε
n␈↓ π
␈ε
k␈↓ λ)␈ε
n␈↓ λ@␈ε
k␈↓ 	\␈ε
n␈↓ 	s␈ε
k
␈β¬?␈↓ ε>␈ε∧=0␈↓ 	4␈ε∧0
␈β¬A␈↓ ε.␈ε
k␈↓ 	⊗␈ε
k
␈β¬D␈↓ 	&␈ε_∃
␈β¬q␈↓ α"␈ε∞Theorem␈α1.
␈β¬s␈↓ ∧
␈ε	Let␈αH␈αbe␈αa␈α
Hilbert␈αspace,␈α→C␈αa␈α
closed␈αbounded␈αconvex␈αsubset␈αof
␈βε≤␈↓ 	[␈εβ0
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε	H,␈α∩T␈α	a␈αλnonexpansive␈αλself␈α	map␈αλof␈α	C.␈α
Suppose␈αλthat␈α	as␈αλn␈↓ λ]␈ε	,␈↓ λw␈ε	a␈↓ 	v␈ε	for␈αλeach␈α	k,␈α	and
␈βε"␈↓ λ ␈ε↔!␈α
1␈↓ 	;␈ε↔!
␈βε*␈↓ 	≠␈ε∧,
␈βε,␈↓ 	
␈ε
n␈↓ 	!␈ε
k
␈βε6␈↓ α≠␈ε↓P␈↓ λf␈ε↓P
␈βεE␈↓ ∧7␈ε∧+
␈βεG␈↓ αA␈ε_1␈↓ 	␈ε_1␈↓ 
∃␈ε
k
␈βεL␈↓ ↓|␈εβ=␈↓ αp␈εβ(␈↓ ∧,␈εβ)␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ λG␈εβ=
␈βεN␈↓ ↓H␈ε	␈
␈↓ α{␈ε	a␈↓ βr␈ε	a␈↓ ¬α␈ε	.␈α
Then␈αfor␈αeach␈αx␈αin␈αC,␈↓ π␈␈ε	A␈↓ λ)␈ε	x␈↓ 	A␈ε	a␈↓ 	{␈ε	T␈↓ 
%␈ε	x␈αconverges
␈βεR␈↓ βY␈ε↔␈␈↓ ∧O␈ε↔!
␈βεY␈↓ β∨␈ε∧,␈↓ β5␈ε∧+1␈↓ ∧⊗␈ε∧,␈↓ 	e␈ε∧,
␈βεZ␈↓ ↓`␈ε
n␈↓ λ_␈ε
n
␈βε[␈↓ β∞␈ε
n␈↓ β%␈ε
k␈↓ ∧¬␈ε
n␈↓ ∧≤␈ε
k␈↓ 	T␈ε
n␈↓ 	k␈ε
k
␈βε]␈↓ αQ␈ε∧=0␈↓ 	≤␈ε∧=0
␈βε←␈↓ αA␈ε
k␈↓ 	␈ε
k
␈βεy␈↓ ↓H␈ε	weakly␈αto␈αa␈α\xed␈αpoint␈αof␈αT.
␈βπ:␈↓ α"␈εβThe␈α
proof␈α
of␈α
Theorem␈α
1␈α
depends␈α
upon␈α
an␈α
extension␈α
of␈α
Opial's␈α
lemma␈α
[␈↓ <␈εβ].
␈βπ@␈↓ *␈ε∩3
␈βπ⎇␈↓ α"␈ε∞Lemma␈α∞1.
␈βπ␈␈↓ βc␈ε	Let␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧y␈ε	and␈↓ ¬T␈ε	y␈↓ ε∪␈ε	be␈αtwo␈αsequences␈αin␈αH,␈α≤F␈αa␈αnonempty␈αsubset
␈βλβ␈↓ ∧$␈ε↔f␈↓ ∧Z␈ε↔g␈↓ ¬A␈ε↔f␈↓ ¬t␈ε↔g
␈βλ␈↓ ∧J␈ε
k␈↓ ¬d␈ε
k
␈βλ∩␈↓ ¬6␈ε↓S
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε	of␈αH,␈↓ α4␈ε	C␈↓ αm␈ε	the␈αconvex␈αclosure␈αof␈↓ ε∪␈ε	x␈↓ εB␈ε	.␈αSuppose␈αthat
␈βλ.␈↓ ε␈ε↔f␈↓ ε/␈ε↔g
␈βλ6␈↓ αL␈ε
m
␈βλ8␈↓ ε&␈ε
i
␈βλ;␈↓ ¬T␈ε
j␈↓ ¬j␈ε
m
␈βλ>␈↓ ¬\␈ε_∃
␈βλb␈↓ ¬T␈ε∧2
␈βλi␈↓ α*␈εβ(a)␈↓ ε$␈εβ(␈↓ ε>␈εβ)␈α
<␈α
+
␈βλk␈↓ α←␈ε	For␈αeach␈αf␈αin␈αF,␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬:␈ε	f␈↓ ε
␈ε	p␈↓ ε/␈ε	f␈↓ π≡␈ε	;
␈βλo␈↓ ∧t␈ε↔j␈↓ ¬"␈ε↔␈␈↓ ¬I␈ε↔j␈↓ ¬m␈ε↔!␈↓ π↓␈ε↔1
␈βλx␈↓ ¬∩␈ε
j
␈β	∀␈↓ α'␈εβ(b)␈↓ α←␈εβdist␈↓ β_␈εβ(␈↓ βC␈εβ,␈↓ β}␈εβ)␈↓ ∧3␈εβ0
␈β	⊗␈↓ β#␈ε	y␈↓ βP␈ε	C␈↓ ∧P␈ε	as␈αk␈↓ ¬c␈ε	for␈αeach␈αm;
␈β	~␈↓ ∧∪␈ε↔!␈↓ ¬≠␈ε↔!␈α
1
␈β	"␈↓ βh␈ε
m
␈β	$␈↓ β3␈ε
k
␈β	@␈↓ α-␈εβ(c)
␈β	B␈↓ α←␈ε	Any␈αweak␈αlimit␈αof␈αan␈αin\nite␈αsubsequence␈αof␈↓ λ0␈ε	y␈↓ λn␈ε	lies␈αin␈αF.
␈β	F␈↓ λ≥␈ε↔f␈↓ λP␈ε↔g
␈β	O␈↓ λ@␈ε
k
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε	Then␈↓ α$␈ε	y␈↓ αO␈ε	converges␈αweakly␈αto␈αa␈αpoint␈αof␈αF.
␈β
∩␈↓ α4␈ε
k
␈β
F␈↓ α"␈ε∞Proof␈α∂of␈α∂Lemma␈α∂1:␈εβ␈α≤Since␈↓ ε\␈εβis␈α∂bounded,␈α⊂it␈α∂su}ces␈α∂to␈α∂show␈α∂that␈α∂if
␈β
H␈↓ ε~␈ε	y␈↓ I␈ε	f
␈β
L␈↓ επ␈ε↔f␈↓ ε:␈ε↔g
␈β
U␈↓ ε*␈ε
k
␈β
q␈↓ ↓H␈εβand␈↓ α.␈εβin␈↓ β↓␈εβare␈αweak␈αlimits␈αof␈αin|nite␈αsubsequences␈αof␈↓ λk␈εβ,␈αthen␈↓ 	h␈εβ=␈↓ 
~␈εβ.␈αFor␈αeach␈↓ Q␈εβ,
␈β
s␈↓ α∂␈ε	g␈↓ αY␈ε	F␈↓ λ8␈ε	y␈↓ 	O␈ε	f␈↓ 
ε␈ε	g␈↓ B␈ε	f
␈β
w␈↓ λ%␈ε↔f␈↓ λX␈ε↔g
␈β␈↓ λH␈ε
k
␈βE␈↓ ∧o␈ε∧2␈↓ ε␈ε∧2␈↓ π∪␈ε∧2
␈βM␈↓ ¬λ␈εβ=␈↓ ε"␈εβ+␈↓ π*␈εβ+␈αλ2(␈↓ λ.␈εβ,␈↓ λ}␈εβ).
␈βO␈↓ ∧~␈ε	x␈↓ ∧U␈ε	f␈↓ ¬1␈ε	x␈↓ ¬l␈ε	g␈↓ εE␈ε	g␈↓ εy␈ε	f␈↓ π←␈ε	x␈↓ λ~␈ε	g␈↓ λ;␈ε	g␈↓ λo␈ε	f
␈βS␈↓ ∧∂␈ε↔j␈↓ ∧=␈ε↔␈␈↓ ∧d␈ε↔j␈↓ ¬&␈ε↔j␈↓ ¬T␈ε↔␈␈↓ ε␈ε↔j␈↓ ε:␈ε↔j␈↓ εa␈ε↔␈␈↓ πλ␈ε↔j␈↓ λα␈ε↔␈␈↓ λW␈ε↔␈
␈β\␈↓ ∧-␈ε
j␈↓ ¬D␈ε
j␈↓ πr␈ε
j
␈β$␈↓ ↓H␈εβFor␈α
a␈α
given␈↓ β'␈εβ>␈α
0,␈α
there␈α
exists␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬a␈εβ)␈α
such␈α
that␈α
for␈↓ λ ␈εβ(␈↓ λ9␈εβ),
␈β&␈↓ β∂␈ε	∂␈↓ ¬,␈ε	m␈↓ ¬S␈ε	∂␈↓ πU␈ε	j␈↓ λ∧␈ε	m␈↓ λ+␈ε	∂
␈β*␈↓ πi␈ε↔∃
␈βx␈↓ ¬O␈ε∧2␈↓ λK␈ε∧2
␈β
␈↓ ∧ ␈εβ(␈↓ ∧?␈εβ)␈↓ ¬{␈εβ<␈↓ ε'␈εβ;␈↓ π&␈εβ(␈↓ π@␈εβ)␈↓ λw␈εβ<␈↓ 	#␈εβ.
␈β
α␈↓ ∧	␈ε	p␈↓ ∧+␈ε	g␈↓ ∧u␈ε	x␈↓ ¬0␈ε	g␈↓ ε→␈ε	∂␈↓ π∂␈ε	p␈↓ π1␈ε	f␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ1␈ε	f␈↓ 	∃␈ε	∂
␈β
¬␈↓ βz␈ε↔j␈↓ ¬b␈ε↔j␈↓ π␈ε↔j␈↓ λ↑␈ε↔j
␈β
ε␈↓ ∧R␈ε↔␈␈αλj␈↓ ¬_␈ε↔␈␈↓ ¬D␈ε↔j␈↓ πS␈ε↔␈␈αλj␈↓ λ→␈ε↔␈␈↓ λ@␈ε↔j
␈β
∂␈↓ ¬λ␈ε
j␈↓ λ	␈ε
j
␈β
W␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ α?␈εβbe␈α
the␈α
convex␈α
set␈α
of␈α
all␈↓ ¬d␈εβsuch␈α
that
␈β
Y␈↓ α	␈ε	K␈↓ ¬B␈ε	u
␈β
e␈↓ α'␈ε
∂
␈β∞&␈↓ λ≡␈ε∧2
␈β∞/␈↓ ∧'␈εβ2(␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬]␈εβ)␈αλ+␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε>␈εβ)␈↓ π␈εβ(␈↓ π~␈εβ)␈αλ+␈↓ λe␈εβ2␈↓ 	¬␈εβ.
␈β∞1␈↓ ∧D␈ε	u␈↓ ∧y␈ε	g␈↓ ¬~␈ε	g␈↓ ¬N␈ε	f␈↓ ελ␈ε	p␈↓ ε*␈ε	g␈↓ εi␈ε	p␈↓ π␈ε	f␈↓ πP␈ε	g␈↓ λ∧␈ε	f␈↓ λw␈ε	∂
␈β∞4␈↓ ∧_␈ε↔j␈↓ λ1␈ε↔j
␈β∞5␈↓ ∧a␈ε↔␈␈↓ ¬6␈ε↔␈␈↓ εQ␈ε↔␈␈↓ πE␈ε↔j␈↓ πl␈ε↔␈␈↓ λ∪␈ε↔j␈↓ λJ␈ε↔∀
␈β∞p␈↓ βh␈ε↓S
␈β∂ε␈↓ ↓H␈εβSince␈↓ α\␈εβcontains␈↓ ¬⊂␈εβ,␈αit␈αcontains␈↓ π≤␈εβ.␈αThere␈αexists␈↓ 	(␈εβsuch␈αthat␈αfor
␈β∂λ␈↓ α'␈ε	K␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ εQ␈ε	C␈↓ λ}␈ε	k␈↓ ␈ε	k␈↓ 9␈ε	k
␈β∂␈↓ ∧O␈ε↔f␈↓ ∧⎇␈ε↔g␈↓ ≡␈ε↔∃
␈β∂∪␈↓ αE␈ε
∂␈↓ 	∩␈ε
∂␈↓ M␈ε
∂
␈β∂∃␈↓ ∧u␈ε
j␈↓ ε␈␈ε∧(␈↓ π∪␈ε∧)
␈β∂↔␈↓ ∧2␈ε∧(␈↓ ∧F␈ε∧)␈↓ εi␈ε
m␈↓ πλ␈ε
∂
␈β∂→␈↓ ∧ε␈ε
j␈↓ ∧≤␈ε
m␈↓ ∧;␈ε
∂
␈β∂≤␈↓ ∧∞␈ε_∃
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβwe␈α
can␈α
|nd␈↓ β=␈εβin␈↓ ∧B␈εβsuch␈α
that␈↓ π⊂␈εβ.␈α
For␈↓ λ@␈εβ,␈α
it␈α
follows␈α
that
␈β∂3␈↓ β␈ε	u␈↓ βj␈ε	C␈↓ ¬m␈ε	y␈↓ ε-␈ε	u␈↓ πα␈ε	∂␈↓ πh␈ε	k␈↓ λ!␈ε	k
␈β∂7␈↓ ¬b␈ε↔j␈↓ ε∃␈ε↔␈␈↓ εR␈ε↔j␈α
∀␈↓ λε␈ε↔∃
␈β∂>␈↓ λ5␈ε
∂
␈β∂@␈↓ β ␈ε
k␈↓ ∧_␈ε∧(␈↓ ∧,␈ε∧)␈↓ ¬⎇␈ε
k␈↓ εB␈ε
k
␈β∂B␈↓ ∧α␈ε
m␈↓ ∧!␈ε
∂
␈β⊂λ␈↓ πW␈ε∧2
␈β⊂⊂␈↓ βU␈εβ2(␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ¬⊗␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬X␈εβ(␈↓ ¬w␈εβ)␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εS␈εβ)␈αλ+␈↓ λ≡␈εβ2␈↓ λF␈εβ+␈αλ2␈↓ 	W␈εβ.
␈β⊂∩␈↓ βr␈ε	y␈↓ ∧2␈ε	g␈↓ ∧S␈ε	g␈↓ ¬π␈ε	f␈↓ ¬A␈ε	p␈↓ ¬c␈ε	g␈↓ ε"␈ε	p␈↓ εD␈ε	f␈↓ π	␈ε	g␈↓ π=␈ε	f␈↓ λ0␈ε	∂␈↓ λp␈ε	∂␈↓ 		␈ε	g␈↓ 	=␈ε	f
␈β⊂∃␈↓ βF␈ε↔j␈↓ πj␈ε↔j
␈β⊂⊗␈↓ ∧~␈ε↔␈␈↓ ∧o␈ε↔␈␈↓ ε
␈ε↔␈␈↓ ε}␈ε↔j␈↓ π%␈ε↔␈␈↓ πL␈ε↔j␈↓ λβ␈ε↔∀␈↓ λ}␈ε↔j␈↓ 	%␈ε↔␈␈↓ 	L␈ε↔j
␈β⊂∨␈↓ ∧α␈ε
k
␈β⊂g␈↓ ↓H␈εβConsider␈α
an␈α
in|nite␈α
subsequence␈↓ εA␈εβfor␈α
which␈α
(␈↓ λT␈εβ,␈↓ 	$␈εβ)␈↓ 	Y␈εβ0.␈α
In␈α
the␈α
limit
␈β⊂i␈↓ ¬v␈ε	y␈↓ πu␈ε	y␈↓ λ@␈ε	g␈↓ λa␈ε	g␈↓ 	∃␈ε	f
␈β⊂m␈↓ ¬c␈ε↔f␈↓ ε!␈ε↔g␈↓ λ(␈ε↔␈␈↓ λ⎇␈ε↔␈␈↓ 	9␈ε↔!
␈β⊂w␈↓ εε␈ε
k␈↓ λ¬␈ε
k
␈β⊃␈↓ ε⊗␈εs␈↓ λ∃␈εs
␈β⊃<␈↓ εa␈ε∧2
␈β⊃D␈↓ ∧b␈εβ(␈↓ ¬↓␈εβ)␈↓ ¬C␈εβ(␈↓ ¬]␈εβ)␈αλ+␈↓ π(␈εβ2␈↓ πP␈εβ+␈αλ2␈↓ λa␈εβ.
␈β⊃F␈↓ ∧K␈ε	p␈↓ ∧m␈ε	g␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬N␈ε	f␈↓ ε∪␈ε	g␈↓ εG␈ε	f␈↓ π:␈ε	∂␈↓ πz␈ε	∂␈↓ λ∪␈ε	g␈↓ λG␈ε	f
␈β⊃I␈↓ ∧<␈ε↔j␈↓ εt␈ε↔j
␈β⊃J␈↓ ¬∀␈ε↔␈␈↓ ελ␈ε↔j␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εV␈ε↔j␈↓ π
␈ε↔∀␈↓ λλ␈ε↔j␈↓ λ/␈ε↔␈␈↓ λV␈ε↔j
␈β∩∀␈↓ π0␈ε∧2␈↓ +␈ε∧2
␈β∩≠␈↓ ↓H␈εβSince␈↓ α<␈εβ>␈α
0␈αλis␈α	arbitrary,␈α	it␈α	follows␈αλthat␈↓ ε%␈εβ(␈↓ εD␈εβ)␈αα+␈↓ πI␈εβ=␈↓ π}␈εβ(␈↓ λ_␈εβ).␈αBy␈α	symmetry,␈↓ 
%␈εβ(␈↓ 
?␈εβ)␈αα+␈↓ D␈εβ=
␈β∩≥␈↓ α$␈ε	∂␈↓ ε∞␈ε	p␈↓ ε0␈ε	g␈↓ εn␈ε	g␈↓ π⊗␈ε	f␈↓ πg␈ε	p␈↓ λ	␈ε	f␈↓ 
∞␈ε	p␈↓ 
0␈ε	f␈↓ 
i␈ε	g␈↓ ⊃␈ε	f
␈β∩!␈↓ εc␈ε↔j␈↓ π∧␈ε↔␈␈↓ π%␈ε↔j␈↓ 
↑␈ε↔j␈↓ 
␈␈ε↔␈␈↓  ␈ε↔j
␈β∩?␈↓ βm␈ε∧2
␈β∩F␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓}␈εβ).␈α
Hence,␈↓ ∧ε␈εβ=␈α
0,␈↓ ∧o␈εβ=␈↓ ¬!␈εβ.␈↓ ¬L␈εβQ.E.D.
␈β∩H␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓j␈ε	g␈↓ β∨␈ε	f␈↓ βN␈ε	g␈↓ ∧V␈ε	f␈↓ ¬
␈ε	g
␈β∩L␈↓ β∀␈ε↔j␈↓ β6␈ε↔␈␈↓ βb␈ε↔j
␈β∪∩␈↓ ↓H␈∧∪∩↓Hα↓X
␈β∪∨␈↓ ↓H␈ε∧Keywords:␈α
ergodic␈α
theory,␈α
nonlinear␈α
mappings,␈α
averaging␈α
processes.
␈β∪J␈↓ ¬i␈ε∧Primary␈α
47A35,␈α
47H10;␈α
Secondary␈α
40G05.
␈β∪L␈↓ ↓H␈ε
AMS␈α	(MOS)␈α	subject␈α	classi\cations␈α	(1970).
␈β∀⊗␈↓ πX␈επC␈α␈opy␈α␈rig␈α↓h␈α}t␈ε≠␈αλ⎇␈επ␈απ197␈α↓6,␈αλAmer␈α␈i␈α↓can␈απMath␈α␈ematica␈α↓l␈απSociety
␈β∀!␈↓ ε9␈ε∧959
␈β⊗α

␈β↓S␈↓ ¬R␈ε∧∞
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα960␈ε∧␈↓ ∧|H.␈α
BR␈↓ ¬Q␈ε∧E␈↓ ¬e␈ε∧ZIS␈α
AND␈α
F.␈α
E.␈α
BROWDER
␈βα∨␈↓ α"␈ε∞Proof␈α
of␈α
Theorem␈α
1:␈εβ␈α→We␈α∞apply␈α
Lemma␈α
1␈α
with␈↓ 	␈εβthe␈α
|xed␈α
point␈α∞set␈α
of
␈βα!␈↓ λb␈ε	F
␈βα4␈↓ ∧P␈ε↓P
␈βαC␈↓ πe␈ε∧2
␈βαE␈↓ βG␈ε
k
␈βαJ␈↓ ↓q␈εβin␈↓ α8␈εβ,␈↓ β␈εβ=␈↓ βj␈εβ,␈↓ ∧/␈εβ=␈↓ εε␈εβ.␈α∪Since␈↓ λβ␈εβdecreases␈α∂with␈↓ 
α␈εβ,␈α⊂it␈α∂converges
␈βαL␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ α ␈ε	C␈↓ α[␈ε	x␈↓ β-␈ε	T␈↓ βW␈ε	x␈↓ ∧␈ε	y␈↓ ¬)␈ε	a␈↓ ¬c␈ε	x␈↓ π∞␈ε	x␈↓ πK␈ε	f␈↓ 	x␈ε	j
␈βαP␈↓ πβ␈ε↔j␈↓ π2␈ε↔␈␈↓ πZ␈ε↔j
␈βαX␈↓ ∧⊂␈ε
n␈↓ ¬M␈ε∧,
␈βαZ␈↓ αn␈ε
k␈↓ ¬<␈ε
n␈↓ ¬S␈ε
k␈↓ ¬v␈ε
k␈↓ π!␈ε
j
␈βα[␈↓ ¬∀␈ε∧0
␈βα]␈↓ ∧v␈ε
k
␈βα`␈↓ ¬ε␈ε_∃
␈βαz␈↓ ↓H␈εβto␈↓ α
␈εβ(␈↓ α$␈εβ)␈α<␈α+␈↓ βπ␈εβ.␈α⊂Since␈↓ ∧h␈εβ0␈α∞as␈↓ ε∃␈εβ,␈↓ ε7␈εβdist␈↓ εp␈εβ(␈↓ π≤␈εβ,␈↓ πW␈εβ)␈↓ λ⊂␈εβ0␈α∞(␈↓ λ⎇␈εβ+␈↓ 	*␈εβ).␈α⊃To␈α∞show␈α∞that␈α∞(c)
␈βα|␈↓ ↓s␈ε	p␈↓ α∃␈ε	f␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ¬6␈ε	n␈↓ ε{␈ε	y␈↓ π)␈ε	C␈↓ λ;␈ε	n
␈ββ␈↓ αj␈ε↔1␈↓ ∧F␈ε↔!␈↓ ¬W␈ε↔!␈α1␈↓ πn␈ε↔!␈↓ λ\␈ε↔!␈↓ 	
␈ε↔1
␈ββλ␈↓ ∧$␈ε∧,␈↓ π␈ε
n␈↓ πA␈ε
m
␈ββ
␈↓ ∧∪␈ε
n␈↓ ∧*␈ε
k
␈ββ&␈↓ ↓H␈εβholds,␈α
it␈α
su}ces␈α
to␈α
prove␈α
that␈↓ εi␈εβ0␈α
as␈↓ πt␈εβ+␈↓ λ!␈εβ.␈α
For␈α
any␈↓ 	`␈εβin␈↓ 
/␈εβ,
␈ββ(␈↓ ¬8␈ε	y␈↓ ¬y␈ε	T␈↓ ε∪␈ε	y␈↓ π5␈ε	n␈↓ 	>␈ε	u␈↓ 

␈ε	H
␈ββ,␈↓ ¬-␈ε↔j␈↓ ¬a␈ε↔␈␈↓ ε4␈ε↔j␈α
!␈↓ πT␈ε↔!␈↓ λ∧␈ε↔1
␈ββ3␈↓ ¬H␈ε
n␈↓ ε#␈ε
n
␈ββd␈↓ ∧B␈ε↓␈␈↓ ε>␈ε↓␈
␈ββp␈↓ εN␈ε∧2
␈ββv␈↓ ∧X␈ε↓X␈↓ π	␈ε↓X
␈ββy␈↓ ∧B␈ε↓␈␈↓ ε>␈ε↓␈
␈β∧␈↓ ∧π␈ε∧2
␈β∧∂␈↓ ∧B␈ε↓␈␈↓ ε>␈ε↓␈
␈β∧∪␈↓ ∧ ␈εβ=␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ε/␈εβ)␈↓ εg␈εβ=␈↓ λ2␈εβ(␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	r␈εβ).
␈β∧∃␈↓ β&␈ε	y␈↓ βg␈ε	u␈↓ ¬∩␈ε	a␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ε~␈ε	u␈↓ πF␈ε	a␈↓ πx␈ε	a␈↓ λ=␈ε	x␈↓ λx␈ε	u␈↓ 	~␈ε	x␈↓ 	]␈ε	u
␈β∧→␈↓ β≠␈ε↔j␈↓ βO␈ε↔␈␈↓ β|␈ε↔j␈↓ εα␈ε↔␈␈↓ λ`␈ε↔␈␈↓ 	E␈ε↔␈
␈β∧ ␈↓ β6␈ε
n␈↓ ¬6␈ε∧,␈↓ πj␈ε∧,␈↓ λ≤␈ε∧,
␈β∧"␈↓ ¬%␈ε
n␈↓ ¬<␈ε
k␈↓ ¬j␈ε
k␈↓ πY␈ε
n␈↓ πp␈ε
j␈↓ λ␈ε
n␈↓ λ"␈ε
k␈↓ λP␈ε
j␈↓ 	-␈ε
k
␈β∧$␈↓ ∧B␈ε↓␈␈↓ ε>␈ε↓␈
␈β∧C␈↓ ∧z␈ε∧0␈↓ π
␈ε∧,␈↓ π1␈ε∧0
␈β∧E␈↓ ∧\␈ε
k␈↓ π¬␈ε
j␈↓ π∪␈ε
k
␈β∧H␈↓ ∧l␈ε_∃␈↓ π#␈ε_∃
␈β¬_␈↓ ¬∀␈ε∧2␈↓ ε1␈ε∧2␈↓ πT␈ε∧2
␈β¬∨␈↓ ↓H␈εβSince␈α
2(␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β{␈εβ)␈α
=␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ πc␈εβ,
␈β¬!␈↓ αF␈ε	x␈↓ β↓␈ε	u␈↓ β#␈ε	x␈↓ βf␈ε	u␈↓ ∧9␈ε	x␈↓ ∧t␈ε	u␈↓ ¬N␈ε	x␈↓ ε⊃␈ε	u␈↓ εk␈ε	x␈↓ π&␈ε	x
␈β¬%␈↓ αi␈ε↔␈␈↓ βN␈ε↔␈␈↓ ∧.␈ε↔j␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬	␈ε↔j␈↓ ¬C␈ε↔j␈↓ ¬y␈ε↔␈␈↓ ε&␈ε↔j␈↓ εH␈ε↔␈␈αλj␈↓ π∞␈ε↔␈␈↓ πI␈ε↔j
␈β¬.␈↓ αY␈ε
j␈↓ β6␈ε
k␈↓ ∧L␈ε
j␈↓ ¬a␈ε
k␈↓ ε}␈ε
j␈↓ π9␈ε
k
␈β¬T␈↓ ε~␈ε↓X
␈β¬i␈↓ ¬K␈ε∧2␈↓ π|␈ε∧2
␈β¬q␈↓ ∧M␈εβ2␈↓ ¬d␈εβ=␈α
2␈↓ λK␈εβ,
␈β¬s␈↓ ∧j␈ε	y␈↓ ¬+␈ε	u␈↓ εT␈ε	a␈↓ π→␈ε	x␈↓ π\␈ε	u␈↓ λ+␈ε	r
␈β¬w␈↓ ∧←␈ε↔j␈↓ ¬∪␈ε↔␈␈↓ ¬@␈ε↔j␈↓ π∞␈ε↔j␈↓ πD␈ε↔␈␈↓ πq␈ε↔j␈↓ λ∪␈ε↔␈
␈β¬}␈↓ εx␈ε∧,
␈β¬␈␈↓ ∧z␈ε
n␈↓ λ:␈ε
n
␈βε␈↓ εg␈ε
n␈↓ ε}␈ε
k␈↓ π,␈ε
k
␈βε!␈↓ ε<␈ε∧0
␈βε#␈↓ ε≡␈ε
k
␈βε&␈↓ ε.␈ε_∃
␈βεh␈↓ α|␈ε↓P
␈βεw␈↓ ¬C␈ε∧2
␈βε}␈↓ ↓H␈εβwhere␈↓ α↑␈εβ=␈↓ ¬R␈εβ.␈α
If␈α
we␈α
choose␈↓ πY␈εβ=␈↓ λ_␈εβ,␈α
then
␈βπ␈↓ α4␈ε	r␈↓ βc␈ε	a␈↓ ∧∃␈ε	a␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ π:␈ε	u␈↓ πw␈ε	y
␈βπ∧␈↓ ∧O␈ε↔j␈↓ ∧⎇␈ε↔␈␈↓ ¬8␈ε↔j
␈βπ␈↓ αC␈ε
n␈↓ ∧π␈ε∧,␈↓ ∧9␈ε∧,␈↓ λπ␈ε
n
␈βπ
␈↓ βv␈ε
n␈↓ ∧
␈ε
j␈↓ ∧(␈ε
n␈↓ ∧?␈ε
k␈↓ ∧m␈ε
j␈↓ ¬(␈ε
k
␈βπ∂␈↓ β*␈ε∧,␈↓ βN␈ε∧0
␈βπ⊃␈↓ β"␈ε
j␈↓ β0␈ε
k
␈βπ∀␈↓ β@␈ε_∃
␈βπ9␈↓ ¬}␈ε↓X
␈βπN␈↓ πl␈ε∧2
␈βπV␈↓ ¬H␈εβ=␈α
2␈↓ π{␈εβ.
␈βπX␈↓ ¬≡␈ε	r␈↓ ε8␈ε	a␈↓ ε⎇␈ε	x␈↓ π@␈ε	y
␈βπ\␈↓ εr␈ε↔j␈↓ π(␈ε↔␈␈↓ πa␈ε↔j
␈βπc␈↓ ε\␈ε∧,
␈βπd␈↓ ¬-␈ε
n␈↓ πP␈ε
n
␈βπe␈↓ εK␈ε
n␈↓ εb␈ε
k␈↓ π⊂␈ε
k
␈βλε␈↓ ε∨␈ε∧0
␈βλλ␈↓ ε↓␈ε
k
␈βλ␈↓ ε⊃␈ε_∃
␈βλ\␈↓ ↓H␈εβIf␈α
we␈α
set␈↓ α⎇␈εβ=␈↓ βV␈εβ,␈α
we␈α
|nd␈α
that
␈βλ↑␈↓ α↑␈ε	u␈↓ β≠␈ε	T␈↓ β5␈ε	y
␈βλi␈↓ βE␈ε
n
␈β	␈↓ ε#␈ε↓X
␈β	!␈↓ βV␈ε∧2␈↓ ¬\␈ε∧2␈↓ λa␈ε∧2
␈β	)␈↓ α2␈εβ2␈↓ βo␈εβ=␈α
2␈↓ ¬s␈εβ+␈αλ2
␈β	+␈↓ αO␈ε	y␈↓ β⊂␈ε	T␈↓ β*␈ε	y␈↓ ∧∨␈ε	a␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ¬⊗␈ε	T␈↓ ¬0␈ε	y␈↓ ε]␈ε	a␈↓ π"␈ε	T␈↓ π<␈ε	x␈↓ λ≠␈ε	T␈↓ λ5␈ε	y␈↓ 	⊂␈ε	r
␈β	/␈↓ αD␈ε↔j␈↓ αx␈ε↔␈␈↓ βK␈ε↔j␈↓ ∧X␈ε↔j␈↓ ∧}␈ε↔␈␈↓ ¬Q␈ε↔j␈↓ π↔␈ε↔j␈↓ λβ␈ε↔␈␈↓ λV␈ε↔j␈↓ λx␈ε↔␈
␈β	6␈↓ α←␈ε
n␈↓ β:␈ε
n␈↓ ∧C␈ε∧,0␈↓ ¬@␈ε
n␈↓ π↓␈ε∧,␈↓ πl␈ε∧1␈↓ λE␈ε
n␈↓ 	∨␈ε
n
␈β	8␈↓ ∧2␈ε
n␈↓ εp␈ε
n␈↓ ππ␈ε
k␈↓ πO␈ε
k
␈β	;␈↓ π←␈ε_␈
␈β	Y␈↓ εD␈ε∧1
␈β	[␈↓ ε&␈ε
k
␈β	↑␈↓ ε6␈ε_∃
␈β	}␈↓ ε ␈ε↓X␈↓ λq␈ε↓X
␈β
∪␈↓ ¬Y␈ε∧2␈↓ λ*␈ε∧2␈↓ 
←␈ε∧2
␈β
≠␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ2␈↓ λY␈εβ2
␈β
≥␈↓ ∧≤␈ε	a␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ¬∪␈ε	T␈↓ ¬-␈ε	y␈↓ εZ␈ε	a␈↓ π∨␈ε	x␈↓ π}␈ε	y␈↓ 	+␈ε	a␈↓ 	p␈ε	x␈↓ 
3␈ε	y
␈β
!␈↓ βo␈ε↔∀␈↓ ∧U␈ε↔j␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε↔j␈↓ π∀␈ε↔j␈↓ πf␈ε↔␈␈↓ λ∨␈ε↔j␈↓ λA␈ε↔␈␈↓ 	e␈ε↔j␈↓ 
≠␈ε↔␈␈↓ 
T␈ε↔j
␈β
)␈↓ ∧@␈ε∧,0␈↓ ¬=␈ε
n␈↓ ε}␈ε∧,␈↓ πO␈ε∧1␈↓ λ∞␈ε
n␈↓ 	O␈ε∧,␈↓ 
C␈ε
n
␈β
+␈↓ ∧/␈ε
n␈↓ εm␈ε
n␈↓ π∧␈ε
k␈↓ π2␈ε
k␈↓ 	>␈ε
n␈↓ 	U␈ε
k␈↓ 
β␈ε
k
␈β
.␈↓ πB␈ε_␈
␈β
L␈↓ εA␈ε∧1␈↓ 	∩␈ε∧0
␈β
N␈↓ ε#␈ε
k␈↓ λt␈ε
k
␈β
Q␈↓ ε3␈ε_∃␈↓ 	∧␈ε_∃
␈β
q␈↓ ε ␈ε↓X
␈βε␈↓ ¬Y␈ε∧2␈↓ 	$␈ε∧2
␈β∞␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ2
␈β⊂␈↓ ∧≤␈ε	a␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ¬∪␈ε	T␈↓ ¬-␈ε	y␈↓ εg␈ε	a␈↓ π]␈ε	a␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λx␈ε	y
␈β∀␈↓ βo␈ε↔∀␈↓ ∧U␈ε↔j␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε↔j␈↓ εT␈ε↔f␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ λ↔␈ε↔gj␈↓ λ`␈ε↔␈␈↓ 	→␈ε↔j
␈β≠␈↓ ∧@␈ε∧,0␈↓ ¬=␈ε
n␈↓ π␈ε∧,␈↓ π!␈ε∧+1␈↓ λ↓␈ε∧,␈↓ 	λ␈ε
n
␈β≥␈↓ ∧/␈ε
n␈↓ εz␈ε
n␈↓ π⊃␈ε
k␈↓ πp␈ε
n␈↓ λπ␈ε
k␈↓ λH␈ε
k
␈β>␈↓ εA␈ε∧0
␈β@␈↓ ε#␈ε
k
␈βC␈↓ ε3␈ε_∃
␈βx␈↓ εY␈ε∧2
␈β␈↓ ∧≥␈εβ2␈↓ ∧p␈εβ+␈αλ2␈↓ ¬\␈εβdiam␈↓ ε+␈εβ(␈↓ εN␈εβ)␈↓ π∩␈εβ0.␈↓ πO␈εβQ.E.D.
␈βα␈↓ ∧/␈ε	a␈↓ ¬~␈ε	␈
␈↓ ε6␈ε	C
␈βε␈↓ βo␈ε↔∀␈α
f␈↓ ¬C␈ε↔g␈↓ εr␈ε↔!
␈β
␈↓ ∧S␈ε∧,0
␈β∞␈↓ ¬2␈ε
n
␈β∂␈↓ ∧B␈ε
n
␈β↑␈↓ 
?␈ε_1
␈β`␈↓ α"␈ε∞Definition␈α1.␈εβ␈α_The␈αarray␈↓ ε=␈εβis␈αsaid␈αto␈α
be␈↓ 	␈εβif␈αfor␈αeach␈↓ 
V␈εβ-element
␈βb␈↓ ¬c␈ε	a␈↓ λ	␈ε	proper␈↓ 
4␈ε	l
␈βf␈↓ ¬P␈ε↔f␈↓ ε≥␈ε↔g
␈βm␈↓ επ␈ε∧,
␈βo␈↓ ¬v␈ε
n␈↓ ε
␈ε
k
␈βu␈↓ β]␈ε↓P␈↓ ε6␈ε↓P
␈β
␈↓ ↓s␈εβ(␈↓ α∩␈εβ)␈↓ α=␈εβsuch␈α
that␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ¬
␈εβ)␈↓ ¬O␈εβ,␈α
then␈↓ λε␈εβ(␈↓ λf␈εβ)␈↓ 	+␈εβ.
␈β

␈↓ ↓[␈ε	␈␈↓ ↓}␈ε	k␈↓ ∧→␈ε	a␈↓ ∧S␈ε	␈␈↓ ∧v␈ε	k␈↓ ¬?␈ε	∞␈↓ π↓␈ε	a␈↓ π;␈ε	a␈↓ πn␈ε	␈␈↓ λ≤␈ε	k␈↓ λP␈ε	l␈↓ 	≠␈ε	∞
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε↔f␈↓ α≥␈ε↔g␈↓ ¬∨␈ε↔!␈↓ λ⊃␈ε↔j␈↓ λ8␈ε↔␈␈↓ λ[␈ε↔j␈↓ λ{␈ε↔!
␈β
_␈↓ ∧=␈ε∧,␈↓ π%␈ε∧,␈↓ π←␈ε∧,
␈β
~␈↓ ∧,␈ε
n␈↓ ∧C␈ε
k␈↓ π∀␈ε
n␈↓ π+␈ε
k␈↓ πN␈ε
n␈↓ πe␈ε
l
␈β
≤␈↓ εl␈ε∧,
␈β
≡␈↓ ∧β␈ε
k␈↓ ε\␈ε
k␈↓ εr␈ε
l
␈β
;␈↓ α"␈εβCes␈↓ αY␈εβ␈
␈↓ α[␈εβa␈↓ αm␈εβro␈αmeans␈αare␈αproper␈αin␈α
this␈αsense,␈αas␈αwe␈αcan␈αsee␈αfrom␈αa␈αsimple␈αcomputa-
␈β
g␈↓ ↓H␈εβtion,␈α
as␈α
are␈α
other␈α
familiar␈α
summation␈α
methods.
␈β∞#␈↓ α"␈ε∞Theorem␈α
2.␈↓ π>␈εβ0␈↓ λV␈εβ(0)␈α=␈α
0
␈β∞%␈↓ ∧␈ε	Suppose␈αin␈αTheorem␈α1␈αthat␈↓ λβ␈ε	C,␈α→T␈↓ 	D␈ε	and␈αthat␈αfor␈αsome
␈β∞)␈↓ π[␈ε↔2
␈β∞O␈↓ ↓{␈εβ0
␈β∞Q␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ α
␈ε	,␈α→T␈αsatis\es␈αfor␈αall␈αu,␈αv␈αthe␈αinequality
␈β∞U␈↓ ↓`␈ε↔∃
␈β∂∀␈↓ ∧`␈ε∧2␈↓ ¬q␈ε∧2␈↓ εl␈ε∧2␈↓ π`␈ε∧2␈↓ λ7␈ε∧2␈↓ 	(␈ε∧2
␈β∂≤␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ¬<␈εβ+␈↓ ελ␈εβ+␈↓ πw␈εβ+␈↓ 	J␈εβ.␈↓ 7␈εβ(i)
␈β∂≡␈↓ βZ␈ε	Tu␈↓ ∧)␈ε	Tv␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬T␈ε	v␈↓ ε ␈ε	c␈↓ εL␈ε	u␈↓ π&␈ε	Tu␈↓ λ~␈ε	v␈↓ λq␈ε	Tv
␈β∂"␈↓ βO␈ε↔j␈↓ ∧U␈ε↔j␈↓ ∧y␈ε↔∀␈α
j␈↓ ¬f␈ε↔j␈↓ ε.␈ε↔fj␈↓ εa␈ε↔j␈↓ πβ␈ε↔␈␈αλj␈↓ πU␈ε↔j␈↓ λ∂␈ε↔j␈↓ λ,␈ε↔j␈↓ λN␈ε↔␈␈αλj␈↓ 	≥␈ε↔j␈↓ 	7␈ε↔g
␈β∂l␈↓ ↓H␈ε	Suppose␈αthat␈↓ β8␈ε	a␈↓ ∧⊂␈ε	is␈αproper␈αin␈αthe␈αsense␈αof␈αDe\nition␈α1␈αand␈αthat
␈β∂p␈↓ β%␈ε↔f␈↓ βr␈ε↔g
␈β∂w␈↓ β\␈ε∧,
␈β∂y␈↓ βK␈ε
n␈↓ βb␈ε
k
␈β⊂ ␈↓ ∧I␈ε↓X
␈β⊂=␈↓ εs␈εβ0␈↓ πM(␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λD␈εβ).
␈β⊂?␈↓ ¬∞␈ε	a␈↓ ε∧␈ε	a␈↓ πX␈ε	n
␈β⊂C␈↓ ¬β␈ε↔j␈↓ ¬l␈ε↔␈␈↓ ε>␈ε↔j␈α
!␈↓ πw␈ε↔!␈↓ λ'␈ε↔1
␈β⊂J␈↓ ¬2␈ε∧,␈↓ ¬H␈ε∧+1␈↓ ε(␈ε∧,
␈β⊂L␈↓ ¬!␈ε
n␈↓ ¬8␈ε
k␈↓ ε↔␈ε
n␈↓ ε.␈ε
k
␈β⊂m␈↓ ∧k␈ε∧0
␈β⊂o␈↓ ∧M␈ε
k
␈β⊂r␈↓ ∧]␈ε_∃
␈β⊃D␈↓ αN␈εβ(␈↓ αl␈εβ)
␈β⊃F␈↓ ↓H␈ε	Then␈↓ α$␈ε	A␈↓ αY␈ε	x␈↓ βα␈ε	converges␈αstrongly.
␈β⊃R␈↓ α=␈ε
n
␈β∩↓␈↓ α"␈εβObviously␈α
(i)␈α
will␈α
hold␈α
with␈↓ επ␈εβ=␈α
0␈α
if␈↓ π␈εβ=␈↓ π←␈εβand␈↓ λO␈εβis␈α
odd.
␈β∩β␈↓ ¬o␈ε	c␈↓ εj␈ε	C␈↓ π:␈ε	C␈↓ λ(␈ε	T
␈β∩π␈↓ π*␈ε↔␈
␈β∩>␈↓ α"␈ε∞Lemma␈α⊂2.␈↓ D␈εβ=
␈β∩@␈↓ βj␈ε	Let␈↓ ∧A␈ε	x␈↓ ∧⎇␈ε	be␈α∞a␈α∂bounded␈α∞in\nite␈α∂sequence␈α∞in␈α∞H,␈↓ 	p␈ε	x␈↓ 
H␈ε	d␈↓ 
k␈ε	,␈↓ ∩␈ε	y
␈β∩D␈↓ ∧.␈ε↔f␈↓ ∧\␈ε↔g␈↓ 	e␈ε↔j␈↓ 
␈ε↔j␈α⊂∀
␈β∩K␈↓ 
\␈ε∧0␈↓ "␈ε
n
␈β∩M␈↓ ∧T␈ε
j␈↓ 
β␈ε
j
␈β∩S␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β∩k␈↓ α!␈ε	a␈↓ α[␈ε	x␈↓ β␈ε	where␈↓ ∧∧␈ε	a␈↓ ∧←␈ε	is␈α
an␈α
array␈α∞as␈α
in␈α
the␈α∞hypothesis␈α
of␈α
Theorem␈α∞2.␈α∩Suppose
␈β∩o␈↓ βq␈ε↔f␈↓ ∧>␈ε↔g
␈β∩v␈↓ αE␈ε∧,␈↓ ∧(␈ε∧,
␈β∩x␈↓ α4␈ε
n␈↓ αK␈ε
k␈↓ αn␈ε
k␈↓ ∧↔␈ε
n␈↓ ∧.␈ε
k
␈β∩z␈↓ α␈ε∧0
␈β∩|␈↓ ↓n␈ε
k
␈β∩␈␈↓ ↓}␈ε_∃
␈β∪→␈↓ ε~␈εβ(␈↓ ε@␈εβ,␈↓ π¬␈εβ)␈↓ λm␈εβ(␈↓ 	␈εβ)␈↓ 
␈εβ+
␈β∪≠␈↓ ↓H␈ε	that␈↓ α⊃␈ε	y␈↓ α;␈ε	converges␈α	weakly␈α
to␈α	y␈α
and␈α	that␈↓ ε%␈ε	x␈↓ εM␈ε	x␈↓ π~␈ε	converges␈α	to␈α
q␈↓ λx␈ε	k␈↓ 	 ␈ε	as␈α
j␈↓ 
-␈ε	,␈α
uniformly
␈β∪∨␈↓ 	`␈ε↔!␈↓ 
⊂␈ε↔1
␈β∪&␈↓ εh␈ε∧+
␈β∪(␈↓ α!␈ε
k␈↓ ε8␈ε
j␈↓ ε`␈ε
j␈↓ εu␈ε
k
␈β∪F␈↓ ↓H␈ε	in␈αk.␈αThen␈↓ αv␈ε	y␈↓ β"␈ε	converges␈αstrongly␈αto␈αy.
␈β∪R␈↓ βε␈ε
n
␈β⊗α

␈β↓Y␈↓ ∧$␈ε∧NONLINEAR␈α
ERGODIC␈α
THEOREMS␈εα␈↓ "961
␈βα	␈↓ πT␈ε↓P
␈βα_␈↓ 	s␈ε∧2
␈βα∨␈↓ α"␈ε∞Proof␈α
of␈α∞Lemma␈α∞2:␈εβ␈α≠We␈α
|rst␈α∞show␈α∞that␈↓ λw␈εβ(␈↓ 	⊗␈εβ)␈↓ 
α␈εβ.␈α⊂Let␈↓ 
t␈εβ>␈α0␈α∞be
␈βα!␈↓ λ-␈ε	a␈↓ λg␈ε	q␈↓ 	α␈ε	k␈↓ 	X␈ε	y␈↓ 
Z␈ε	∂
␈βα%␈↓ 	,␈ε↔!␈αj␈↓ 	h␈ε↔j
␈βα,␈↓ λQ␈ε∧,
␈βα.␈↓ λ@␈ε
n␈↓ λW␈ε
k
␈βα0␈↓ λ_␈ε∧0
␈βα2␈↓ πz␈ε
k
␈βα5␈↓ λ
␈ε_∃
␈βαO␈↓ ↓H␈εβgiven.␈αWe␈απmay␈απ|nd␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧≤␈εβ)␈απsuch␈απthat␈απfor␈↓ ε2␈εβ(␈↓ εK␈εβ)␈απand␈απall␈↓ πb␈εβ,␈↓ π␈␈εβ(␈↓ λ%␈εβ,␈↓ λj␈εβ)␈↓ 	⊗␈εβ(␈↓ 	5␈εβ)␈↓ 	U␈εβ<␈↓ 
↓␈εβ.␈αWe␈απnote␈αλthat
␈βαQ␈↓ βy␈ε	j␈↓ ∧∞␈ε	∂␈↓ ¬y␈ε	j␈↓ ε(␈ε	j␈↓ ε=␈ε	∂␈↓ πN␈ε	k␈↓ λ
␈ε	x␈↓ λ2␈ε	x␈↓ 	ε␈ε	q␈↓ 	!␈ε	k␈↓ 	s␈ε	∂
␈βαU␈↓ ε
␈ε↔∃␈↓ πt␈ε↔j␈↓ λv␈ε↔␈␈↓ 	@␈ε↔j
␈βα\␈↓ λM␈ε∧+
␈βα↑␈↓ λ≥␈ε
j␈↓ λE␈ε
j␈↓ λZ␈ε
k
␈ββ/␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓␈
␈ββ8␈↓ ε7␈ε∧1
␈ββ:␈↓ ε"␈ε
j
␈ββ=␈↓ ε*␈ε_␈
␈ββA␈↓ αn␈ε↓X␈↓ ε~␈ε↓X
␈ββE␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓␈
␈ββV␈↓ π"␈ε∧2
␈ββ[␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓␈
␈ββ←␈↓ α␈εβ(␈↓ α&␈εβ,␈↓ αC␈εβ)␈↓ βr␈εβ(␈↓ ∧⊃␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ(␈↓ ¬ε␈εβ,␈↓ ¬d␈εβ)␈↓ εα␈εβ+
␈ββa␈↓ α␈ε	x␈↓ α3␈ε	y␈↓ β(␈ε	a␈↓ βb␈ε	q␈↓ β⎇␈ε	k␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ¬∪␈ε	y␈↓ ¬C␈ε	y␈↓ εT␈ε	a␈↓ π∞␈ε	d
␈ββe␈↓ αV␈ε↔␈␈↓ ∧:␈ε↔∀␈α
j␈↓ ¬+␈ε↔␈␈↓ ¬o␈ε↔j
␈ββl␈↓ βL␈ε∧,␈↓ ¬S␈ε
n␈↓ εx␈ε∧,
␈ββn␈↓ α≡␈ε
j␈↓ β;␈ε
n␈↓ βR␈ε
k␈↓ ∧}␈ε
j␈↓ εg␈ε
n␈↓ ε}␈ε
k␈↓ π"␈ε∧0
␈ββp␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓␈
␈β∧∂␈↓ β∂␈ε∧0␈↓ ε,␈ε∧=0
␈β∧⊃␈↓ αq␈ε
k␈↓ ε≤␈ε
k
␈β∧∀␈↓ β↓␈ε_∃
␈β∧7␈↓ ¬(␈ε↓X␈↓ λS␈ε↓X
␈β∧U␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ π2␈εβ(␈↓ πX␈εβ,␈↓ λ≥␈εβ)␈↓ λ;␈εβ+␈↓ 	b␈εβ(␈↓ 
↓␈εβ)␈↓ 
,␈εβ(␈↓ 
R␈εβ,␈↓ ↔␈εβ)␈↓ -␈εβ.
␈β∧W␈↓ ¬m␈ε	a␈↓ ε\␈ε	a␈↓ π=␈ε	x␈↓ πe␈ε	x␈↓ 	
␈ε	a␈↓ 	R␈ε	q␈↓ 	m␈ε	k␈↓ 
7␈ε	x␈↓ 
←␈ε	x
␈β∧[␈↓ ¬b␈ε↔j␈↓ εD␈ε↔␈␈↓ π⊗␈ε↔j␈αεj␈↓ λ(␈ε↔j␈↓ 	G␈ε↔j␈↓ 
∀␈ε↔␈␈↓ "␈ε↔j
␈β∧b␈↓ ε⊃␈ε∧,␈↓ ε'␈ε∧+␈↓ π␈ε∧,␈↓ λ␈ε∧+␈↓ 	1␈ε∧,␈↓ 
z␈ε∧+
␈β∧d␈↓ ε␈ε
n␈↓ ε↔␈ε
k␈↓ ε4␈ε
j␈↓ εo␈ε
n␈↓ πε␈ε
k␈↓ πP␈ε
j␈↓ πx␈ε
j␈↓ λ
␈ε
k␈↓ 	 ␈ε
n␈↓ 	7␈ε
k␈↓ 
J␈ε
j␈↓ 
r␈ε
j␈↓ π␈ε
k
␈⬬␈↓ ¬I␈ε∧0␈↓ λt␈ε∧0
␈β¬π␈↓ ¬+␈ε
k␈↓ λV␈ε
k
␈β¬
␈↓ ¬;␈ε_∃␈↓ λf␈ε_∃
␈β¬e␈↓ ↓H␈εβIf␈α⊃we␈α∩choose␈↓ βs␈εβ(␈↓ ∧␈εβ)␈α∩and␈α∩then␈↓ ε.␈εβ(␈↓ εG␈εβ,␈↓ ε↑␈εβ),␈α∪it␈α∩follows␈α∩that␈α∩we␈α∩can␈α∩make␈↓ 
n␈εβ(␈↓ ∀␈εβ,␈↓ 1␈εβ)
␈β¬g␈↓ β*␈ε	j␈↓ βi␈ε	j␈↓ β}␈ε	∂␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ε→␈ε	n␈↓ ε9␈ε	∂␈↓ εT␈ε	j␈↓ 
y␈ε	x␈↓ !␈ε	y
␈β¬k␈↓ βF␈ε↔∃␈↓ ¬v␈ε↔∃␈↓ 
c␈ε↔j␈↓ H␈ε↔␈
␈β¬t␈↓ ␈ε
j
␈β¬z␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βε⊂␈↓ αk␈εβ(␈↓ β
␈εβ)␈↓ β*␈εβ<␈α
2␈↓ βh␈εβ.␈αHence␈α
for␈↓ ¬)␈εβ,␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε↔␈εβ),␈↓ εD␈εβ(␈↓ εj␈εβ,␈↓ ππ␈εβ)␈↓ π(␈εβ(␈↓ π\␈εβ,␈↓ πy␈εβ)␈α
<␈α
4␈↓ λL␈εβ.␈αThus␈α	(␈↓ 	c␈εβ,␈↓ 
␈εβ)␈α	converges␈α
as
␈βε∩␈↓ α!␈ε	a␈↓ α[␈ε	q␈↓ αv␈ε	k␈↓ βZ␈ε	∂␈↓ ¬∨␈ε	j␈↓ ¬6␈ε	j␈↓ ¬t␈ε	j␈↓ ε	␈ε	∂␈↓ εO␈ε	x␈↓ εw␈ε	y␈↓ π3␈ε	x␈↓ πi␈ε	y␈↓ λ>␈ε	∂␈↓ 	H␈ε	x␈↓ 	p␈ε	y
␈βε⊗␈↓ β∃␈ε↔j␈↓ ¬Y␈ε↔∃␈↓ ε9␈ε↔j␈↓ π∃␈ε↔␈
␈βε≥␈↓ αE␈ε∧,␈↓ ¬@␈ε∧1
␈βε∨␈↓ α4␈ε
n␈↓ αK␈ε
k␈↓ εb␈ε
j␈↓ πF␈ε
j␈↓ 	[␈ε
j
␈βε!␈↓ α␈ε∧0
␈βε#␈↓ ↓n␈ε
k
␈βε&␈↓ ↓}␈ε_∃
␈βε)␈↓ πN␈εε1
␈βε4␈↓ βJ␈ε↓P
␈βεB␈↓ B␈ε∧2
␈βεJ␈↓ α→␈εβ,␈αand␈αsince␈↓ ∧M␈εβ(␈↓ ∧s␈εβ,␈↓ ¬⊂␈εβ)␈α
=␈α
(␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ε␈εβ)␈α
must␈αconverge␈αto␈αthe␈αsame␈α
limit,␈α(␈↓ 
J␈εβ,␈↓ 
g␈εβ)␈↓ Q␈εβ.
␈βεL␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ∧≠␈ε	a␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ¬␈ε	y␈↓ ¬N␈ε	y␈↓ ¬|␈ε	y␈↓ 
/␈ε	x␈↓ 
W␈ε	y␈↓ '␈ε	y
␈βεP␈↓ ↓\␈ε↔!␈α
1␈↓ 
|␈ε↔!␈α
j␈↓ 7␈ε↔j
␈βεW␈↓ ∧?␈ε∧,␈↓ ¬↑␈ε
n
␈βεY␈↓ ∧.␈ε
n␈↓ ∧E␈ε
j␈↓ ∧k␈ε
j␈↓ 
B␈ε
j
␈βεZ␈↓ ∧ε␈ε∧0
␈βε\␈↓ βp␈ε
j
␈βε←␈↓ βx␈ε_∃
␈βεz␈↓ ↓H␈εβThus␈α
for␈α
a␈α
large␈α
choice␈α
of␈↓ ¬⊃␈εβand␈↓ ε)␈εβ(␈↓ εB␈εβ,␈↓ εY␈εβ),
␈βε|␈↓ ∧z␈ε	j␈↓ ¬Z␈ε	n␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε4␈ε	∂␈↓ εO␈ε	j
␈βπ␈↓ ¬y␈ε↔∃
␈βπ7␈↓ ¬∀␈ε↓␈␈↓ π1␈ε↓␈
␈βπI␈↓ ¬*␈ε↓X
␈βπM␈↓ ¬∀␈ε↓␈␈↓ π1␈ε↓␈
␈βπ↑␈↓ π≡␈ε∧2
␈βπc␈↓ ¬∀␈ε↓␈␈↓ π1␈ε↓␈
␈βπg␈↓ ε.␈εβ(␈↓ εM␈εβ)␈↓ πK␈εβ<␈α
4␈↓ λ	␈εβ,
␈βπi␈↓ ¬d␈ε	a␈↓ ε≡␈ε	q␈↓ ε9␈ε	k␈↓ πβ␈ε	y␈↓ π{␈ε	∂
␈βπm␈↓ ε`␈ε↔␈␈αλj␈↓ π∪␈ε↔j
␈βπt␈↓ ελ␈ε∧,
␈βπv␈↓ ¬w␈ε
n␈↓ ε∞␈ε
k
␈βπx␈↓ ¬∀␈ε↓␈␈↓ π1␈ε↓␈
␈βλ↔␈↓ ¬K␈ε∧0
␈βλ→␈↓ ¬-␈ε
k
␈βλ≤␈↓ ¬=␈ε_∃
␈βλf␈↓ α¬␈ε↓P
␈βλu␈↓ ∧"␈ε∧2
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβi.e.,␈↓ β(␈εβ(␈↓ βG␈εβ)␈↓ ∧1␈εβ.
␈βλ}␈↓ α↑␈ε	a␈↓ β_␈ε	q␈↓ β3␈ε	k␈↓ ∧π␈ε	y
␈β	α␈↓ β\␈ε↔!␈α
j␈↓ ∧↔␈ε↔j
␈β		␈↓ βα␈ε∧,
␈β	␈↓ αq␈ε
n␈↓ βλ␈ε
k
␈β	
␈↓ αI␈ε∧0
␈β	∂␈↓ α+␈ε
k
␈β	∩␈↓ α;␈ε_∃
␈β	*␈↓ λZ␈ε∧2␈↓ 	4␈ε∧2␈↓ +␈ε∧2
␈β	1␈↓ α"␈εβTo␈αprove␈α
the␈α
lemma,␈α
it␈αsu}ces␈α
to␈α
show␈α
that␈↓ πk␈εβlim␈↓ 	C␈εβ.␈α
We␈α
have␈↓ D␈εβ=
␈β	3␈↓ πk␈∧	3πkα2␈↓ λ.␈ε	y␈↓ 	→␈ε	y␈↓ 
␈␈ε	y
␈β	7␈↓ λ#␈ε↔j␈↓ λO␈ε↔j␈↓ λs␈ε↔∀␈α
j␈↓ 	)␈ε↔j␈↓ 
t␈ε↔j␈↓  ␈ε↔j
␈β	?␈↓ λ>␈ε
n␈↓ ∂␈ε
n
␈β	F␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β	\␈↓ β#␈εβ(␈↓ βQ␈εβ,␈↓ βz␈εβ).␈α⊃From␈α∂the␈α∞assumption␈α∂of␈α∞Lemma␈α∂2,␈α∂we␈α∞have␈↓ 
↓␈εβ(␈↓ 
/␈εβ,␈↓ 
X␈εβ)␈↓ ∃␈εβ(
␈β	↑␈↓ α0␈ε	a␈↓ αj␈ε	a␈↓ β.␈ε	x␈↓ β↑␈ε	x␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
<␈ε	x␈↓ ¬␈ε	q␈↓ +␈ε	k
␈β	a␈↓ 	r␈ε↔j
␈β	b␈↓ 
l␈ε↔␈␈↓  ␈ε↔j␈↓ H␈ε↔␈
␈β	j␈↓ αT␈ε∧,␈↓ β∞␈ε∧,
␈β	l␈↓ αC␈ε
n␈↓ αZ␈ε
k␈↓ α⎇␈ε
n␈↓ β∀␈ε
l␈↓ βA␈ε
k␈↓ βq␈ε
l␈↓ 
∨␈ε
k␈↓ 
O␈ε
l
␈β	m␈↓ ↓}␈ε∧,␈↓ α≠␈ε∧0
␈β	o␈↓ ↓n␈ε
k␈↓ α∧␈ε
l
␈β	r␈↓ α
␈ε_∃
␈β
␈↓ ↓↑␈εβ)␈↓ αε␈εβ<␈↓ β"␈εβwhere␈↓ ∧X␈εβ0␈α
as␈↓ εα␈εβ.␈α
Therefore
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ α$␈ε	∂␈↓ ∧∞␈ε	∂␈↓ ¬$␈ε	p
␈β
⊃␈↓ ↓m␈ε↔j
␈β
∩␈↓ ↓S␈ε↔j␈↓ ∧8␈ε↔!␈↓ ¬E␈ε↔!␈α
1
␈β
~␈↓ ∧≤␈ε
p
␈β
≤␈↓ α2␈ε∧min␈↓ αd␈ε∧(␈↓ α⎇␈ε∧,␈↓ β␈ε∧)
␈β
≡␈↓ αm␈ε
k␈↓ ββ␈ε
l
␈β
M␈↓ ∧N␈ε↓X␈↓ π≡␈ε↓X
␈β
c␈↓ ∧⊗␈ε∧2
␈β
k␈↓ ε∂␈εβ(␈↓ εo␈εβ)␈αλ+
␈β
m␈↓ βj␈ε	y␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬␈␈ε	q␈↓ ε%␈ε	k␈↓ εY␈ε	l␈↓ π\␈ε	a␈↓ λ⊗␈ε	a␈↓ λO␈ε	∂
␈β
q␈↓ β←␈ε↔j␈↓ ∧␈ε↔j␈↓ ∧/␈ε↔∀␈↓ ε~␈ε↔j␈↓ εA␈ε↔␈␈↓ εd␈ε↔j
␈β
x␈↓ βz␈ε
n␈↓ ¬0␈ε∧,␈↓ ¬j␈ε∧,␈↓ λ␈ε∧,␈↓ λ:␈ε∧,
␈β
z␈↓ ¬∨␈ε
n␈↓ ¬6␈ε
k␈↓ ¬Y␈ε
n␈↓ ¬p␈ε
l␈↓ πo␈ε
n␈↓ λε␈ε
k␈↓ λ)␈ε
n␈↓ λ@␈ε
l␈↓ λ]␈ε∧min␈↓ 	∂␈ε∧(␈↓ 	(␈ε∧,␈↓ 	7␈ε∧)
␈β
|␈↓ 	_␈ε
k␈↓ 	.␈ε
l
␈β≠␈↓ ∧Z␈ε∧,␈↓ ∧w␈ε∧0␈↓ π*␈ε∧,␈↓ πG␈ε∧0
␈β≥␈↓ ∧J␈ε
k␈↓ ∧`␈ε
l␈↓ π~␈ε
k␈↓ π0␈ε
l
␈β ␈↓ ∧i␈ε_∃␈↓ π9␈ε_∃
␈β@␈↓ ∧N␈ε↓X␈↓ π2␈ε↓X
␈β]␈↓ ε∂␈εβ(␈↓ εo␈εβ)␈αλ+␈αλ2␈↓ λD␈εβ.
␈β←␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬␈␈ε	q␈↓ ε%␈ε	k␈↓ εY␈ε	l␈↓ πl␈ε	a␈↓ λ&␈ε	∂
␈βc␈↓ ∧/␈ε↔∀␈↓ ε~␈ε↔j␈↓ εA␈ε↔␈␈↓ εd␈ε↔j
␈βj␈↓ ¬0␈ε∧,␈↓ ¬j␈ε∧,␈↓ λ⊂␈ε∧,
␈βl␈↓ ¬∨␈ε
n␈↓ ¬6␈ε
k␈↓ ¬Y␈ε
n␈↓ ¬p␈ε
l␈↓ π␈␈ε
n␈↓ λ⊗␈ε
k␈↓ λ4␈ε
k
␈β
␈↓ ∧Z␈ε∧,␈↓ ∧w␈ε∧0␈↓ πT␈ε∧0
␈β∂␈↓ ∧J␈ε
k␈↓ ∧`␈ε
l␈↓ π6␈ε
k
␈β∩␈↓ ∧i␈ε_∃␈↓ πF␈ε_∃
␈βl␈↓ π∀␈ε∧2␈↓ πn␈ε∧2
␈βs␈↓ ↓H␈εβSince␈↓ αp␈εβis␈α
proper␈α
we␈α
conclude␈α
that␈↓ ε%␈εβlim␈↓ π⎇␈εβ.␈↓ λ(␈εβQ.E.D.
␈βt␈↓ ε%␈∧tε%α2
␈βu␈↓ α)␈ε	a␈↓ εh␈ε	y␈↓ πS␈ε	y
␈βy␈↓ ε]␈ε↔j␈↓ π	␈ε↔j␈↓ π-␈ε↔∀␈α
j␈↓ πc␈ε↔j
␈β
␈↓ αM␈ε∧,␈↓ εx␈ε
n
␈β
α␈↓ α<␈ε
n␈↓ αS␈ε
k
␈β
1␈↓ α"␈ε∞Proof␈αof␈αTheorem␈α2:␈εβ␈α⊗It␈αfollows␈αfrom␈αthe␈αinequality␈α(i)␈αthat␈↓ 
~␈εβ(␈↓ 
Y␈εβ,␈↓ 7␈εβ)
␈β
3␈↓ 
%␈ε	x␈↓ 
f␈ε	x
␈β
7␈↓ 
∂␈ε↔j␈↓ H␈ε↔␈
␈β
>␈↓ 
@␈ε∧+␈↓ ↓␈ε∧+␈↓ ≡␈ε∧+
␈β
@␈↓ 
8␈ε
j␈↓ 
M␈ε
s␈↓ 
y␈ε
j␈↓ ∞␈ε
k␈↓ +␈ε
s
␈β
U␈↓ ∧β␈ε∧2
␈β
\␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓n␈εβ,␈↓ α3␈εβ)␈↓ αn␈εβ(␈↓ β␈εβ+␈αε1)␈↓ ∧<␈εβ(0)␈↓ ¬!␈εβ0␈αas␈↓ ε≡␈εβ+␈↓ εK␈εβ.␈αHence␈αwe␈αmay␈αapply␈αLemma␈α2␈αto␈αobtain
␈β
↑␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓{␈ε	x␈↓ αy␈ε	c␈↓ β]␈ε	x␈↓ ∧,␈ε	q␈↓ ¬j␈ε	j
␈β
b␈↓ α>␈ε↔j␈α
∀␈↓ β?␈ε↔fj␈↓ βx␈ε↔j␈↓ ∧↔␈ε↔␈␈↓ ∧d␈ε↔g␈α
!␈↓ ¬}␈ε↔!␈↓ ε.␈ε↔1
␈β
i␈↓ α⊗␈ε∧+
␈β
k␈↓ ↓f␈ε
j␈↓ α∞␈ε
j␈↓ α#␈ε
k␈↓ βp␈ε
j
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβTheorem␈α
2.␈↓ β"␈εβQ.E.D.
␈β∞Y␈↓ ¬S␈ε∧BIBLIOGRAPHY
␈β∂∪␈↓ αL␈ε∧J-B.␈αλBaillon,␈↓ ∧8␈ε∧∞␈↓ ∧\␈ε∧␈
␈↓ 	K␈ε∧∞
␈β∂∃␈↓ βt␈ε
Un␈απth␈↓ ∧;␈ε
e␈↓ ∧G␈ε
or␈↓ ∧←␈ε
e␈↓ ∧k␈ε
me␈απde␈αεtype␈απergodique␈απpour␈απles␈απcontractions␈απnon␈απlin␈↓ 	M␈ε
e␈↓ 	Y␈ε
aires␈απdans␈απun␈απespace
␈β∂_␈↓ α"␈ε∀1.
␈β∂7␈↓ αH␈ε∧,␈α
C.␈α
R.␈α
Acad.␈α
Sci.␈α
Paris␈α
S␈↓ ¬	␈ε∧∞␈↓ ¬␈ε∧e␈↓ ¬→␈ε∧r.␈α
A-B␈↓ ε.␈ε∧(1975),␈α
no.␈α
22,␈α
Aii,␈α
A1511↑A1514.␈↓ 
n␈ε∧11205.
␈β∂9␈↓ ↓H␈ε
de␈α	Hilbert
␈β∂<␈↓ ¬v␈ε∀280␈↓ 	z␈ε∀MR␈α
51␈ε_␈αq
␈β∂[␈↓ αU␈ε∧←␈αu←␈↓ βε␈ε∧,␈↓ ∧←␈ε∧∞␈↓ β␈ε∧,␈αC.␈αR.
␈β∂]␈↓ β_␈ε
Quelques␈α	propri␈↓ ∧a␈ε
e␈↓ ∧m␈ε
tes␈α
de␈α
convergence␈α
asymptotique␈α
pour␈α
les␈α
contractions␈α
impaires
␈β∂`␈↓ α"␈ε∀2.
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε∧Acad.␈α
Sci.␈α
Paris␈α
(to␈α
appear).
␈β⊂#␈↓ αM␈ε∧Z.␈απOpial,
␈β⊂%␈↓ βF␈ε
Weak␈απconvergence␈απof␈απthe␈απsequence␈απof␈απthe␈απsuccessive␈απapproximations␈αλfor␈απnonexpansive
␈β⊂(␈↓ α"␈ε∀3.
␈β⊂G␈↓ ∧)␈ε∧,␈α
Bull.␈α
Amer.␈α
Math.␈α
Soc.␈↓ π∀␈ε∧(1967),␈α
591↑597.␈↓ 	o␈ε∧2183.
␈β⊂I␈↓ ↓H␈ε
mappings␈α	in␈α	Banach␈α	spaces
␈β⊂L␈↓ εl␈ε∀73␈↓ λz␈ε∀M␈α↓R␈α
35␈ε_␈αq
␈β⊂k␈↓ αS␈ε∧F.␈α
Hausdor{,␈↓ ¬
␈ε∧,␈α
Chelsea,␈α
New␈α
York␈α
(1962).
␈β⊂m␈↓ ∧π␈ε
Set␈α	Theory
␈β⊂p␈↓ α"␈ε∀4.
␈β⊃+␈↓ ↓H␈ε∧DEPARTMENT␈α	OF␈α
MATHEMATICS,␈α
UNIVERSITY␈α	OF␈α
CHICAGO,␈α
CHICAGO,␈α
ILLINOIS
␈β⊃O␈↓ ↓H␈ε∧60637
␈β⊗α/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=PSXX/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=01699/FONT#3=bsr10[fnt,dek]=
'()+,-.0124;<=>BCDEFHIJLOQSTW[]abcdefghiklmnopqrstuvwxy|}}/FONT#4=bsr8[fnt,dek]=
∞()+,-.0123456789:;=ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWYZ↑←abcdeghiklmnoprstuvwxy{{/FONT#6=bsr6[fnt,dek]=11/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=,1679ACMSaceghilmnoprtyy/FONT#9=bsi10[fnt,dek]=
∞∂,.12;ACDFHKLST\abcdefghijklmnopqrstuvwxyy/FONT#10=bsi8[fnt,dek]=∂().0179ABHMOQSTUW\abcdefghijklmnopqrstuvxyy/FONT#12=bsi6[fnt,dek]=ss/FONT#14=bscsc[fnt,dek]=.12:DLPTaefhimnortt/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=123ACDEGHILMNORSTT/FONT#20=cmb8[XGP,SYS]=.01234578MRR/FONT#23=bssy10[fnt,dek]=∀∃!12fgjj/FONT#24=bssy8[fnt,dek]=∃1qq/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=⎇⎇